- 数学问题:已知抛物线y=(
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1,已知抛物线y=(-1x^2/2)+m,点A,B及点p(2,4)均在抛物线上,且PA,PB的倾斜角互补,当直线AB在y轴上截距为正数时,
求△PAB面积的最小值
2,设抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点在抛物线的准线上,
且BC//x轴,证明直线AC经原点O
3,设点A和B为抛物线y^2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB,M为垂足,求点M的轨迹方程,
并说明它表示什么曲线
最好解析一下
- 1. 请检查题目,很久都没作出来
2.F(p/2,0),设AB的方程为x=my+(p/2),把它代入得
y²-2pmy-p²=0,记A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p²,由题意知(-p/2,0), ∴ 直线CO的斜率K(co)=y2/(-p/2)=2p/y1=y1/x1=K(ac), ∴ 直线AC经原点.
2. 设A(y1²/4p,y1),B(y2²/4p,y2)AB的斜率K(ab)=4p/(y1+y2),OM⊥AB, ∴ OM的斜率K(om)=-(y1+y2)/4p.OM的方程:y=-(y1+y2)x/4p...①; AB的方程: y-y1)(y1+y2)=4p(x-y1²/4p)...②
把②式×-x/4p并利用①式得(x/4p)y1²+yy1-(x²+y²)=0...(③
由①,③得(-x/4p)·y1y2-(x²+y²)=0...④
∵ OA⊥OB, ∴ K(oa)×K(ob)=-1, ∴ y1y2=-16p²,把它代入④得
x²+y²-4px=0. ∵ 点A和B为抛物线y^2=4px(p>0)上原点以外的两个动点, ∴ x≠0. ∴ 点M的轨迹方程是
x²+y²-4px=0(x≠0).