- 已知a+b+c=1(a,b,c均>0).求证:ab+bc+ac≤?
- a+b+c = 1; a>0, b>0, c>0;
(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 +2(ab+bc+ca) = 1;
(a^2 + b^2)/2 >= -ab;
(b^2+c^2)/2 >= -bc;
(c^2 + a^2)/2 >= -ca;
a^2+b^2+c^2 >=-(ab+bc+ca);
1 =a^2 + b^2 + c^2 +2(ab+bc+ca)
>= -(ab+bc+ca) + 2(ab+bc+ca)
= ab+bc+ca
从而 ab + bc +ca <=1; （这个等号是不能取得的。）
注: a>0, b>0, c>0, a+b+c=1, 可以得到更强的结果：
(a^2 + b^2)/2 >= ab;
(b^2+c^2)/2 >= bc;
(c^2 + a^2)/2 >= ca;
a^2 + b^2 + c^2 >=ab + bc + ca
1 = a^2 + b^2 + c^2 +2(ab+bc+ca)
>= 3(ab+bc+ca)
(ab+bc+ca) <=1/3 , 当切仅当 a = b = c =1/3， 取等号。