- 数学已知f(x)=x^2+ax+a(a≤2，x属于R）。g(x)
- 已知f(x)=x^2+ax+a(a≤2，x属于R）。g(x)=e^(-x)，Φ(x)=f(x)*g(x).
(1)当a=1时,求Φ(x)的单调区间
(2)求g(x)过点(0,1)的切线与直线x=1及曲线g(x)所围城的封闭的面积。
(3)是否存在实数a,使Φ(x)的极大值为3?若存在,求a的值.
- Φ(x)=f(x)*g(x)=(x^2+ax+a)e^(-x)，
Φ'(x)=(2x+a)e^(-x)-(x^2+ax+a)e^(-x)=0
x^2+ax+a=2x+a,得Φ(x)驻点x=0和x=2-a>0,
(1)a=1时,驻点0,1
x→-∞时,Φ(x)→+∞,所以Φ(x)在(-∞,0)和(1,+∞)内递减,
在(0,1)内递增.
(2)g(0)=1,得a=1,g'(x)=2x+a=2x+1,g'(0)=1
切线方程y=x+1,f(x)=x^2+x+1
所求面积S=∫<0,1>(x^2+x+1-x-1)dx
=(1/3)x^3|<0,1>=1/3
(3)如果Φ(x)存在极大值,则极大值点是x=2-a
Φ(2-a)=((2-a)^2+a(2-a)+a)e^(a-2)=2(2-a)e^(a-2)，
令t=a-2,则t<0
Φ(t)=-2te^t,Φ'(t)=-2e^t-2te^t=-2(1+t)e^t=0,t=-1
当t=-1时,Φ(t)取得极大值6/e<3
即Φ(x)的极大值是6/e,不能最得极大值3.