- 不等式对任何正数a，b，c，求证:√(a^2+b^2
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对任何正数a，b，c，求证: √(a^2+b^2-ab)+√(a^2+c^2-ac)≥√(b^2+c^2+bc) 。
- 对任何正数a，b，c，求证: √(a^2+b^2-ab)+√(a^2+c^2-ac)≥√(b^2+c^2+bc) 。
此题可用构造法证明。
下面综合法来推证。
证明 因为 (bc-ab-ca)^2≥0 <==> 3b^2*c^2-6abc(b+c)+3a^2(b+c)^2≥0
<==> 4(a^2+b^2-ab)*(a^2+c^2-ac)≥(bc+ca+ab-2a^2)^2
<==> 2√[(a^2+b^2-ab)*(a^2+c^2-ac)]≥bc+ca+ab-2a^2
<==> a^2+b^2-ab+a^2+c^2-ac+2√[(a^2+b^2-ab)*(a^2+c^2-ac)]≥b^2+c^2+bc
<==> [√(a^2+b^2-ab)+√(a^2+c^2-ac)]^2≥[√(b^2+c^2+bc)]^2
<==> √(a^2+b^2-ab)+√(a^2+c^2-ac)≥√(b^2+c^2+bc) 。
所以当1/a=1/b+1/c，也即1/a=1/b+1/c时取等号。
关于儿的问题
提问出错了，(bc+ca+ab)^2应该为(a+b+c)^2，不然量纲不对了。
为了习惯，符号更改如下。
设x，y，z为正实数，求证:
√[(x^2+xy+y^2)*(y^2+yz+z^2)]+√[(y^2+yz+z^2)*(z^2+zx+x^2)]+√[(z^2+zx+x^2)(x^2+xy+y^2)]≥(x+y+z)^2.(1)
证明 设P是最大角不大于120°的ΔABC的费马点，记BC=a，CA=b，AB=c，PA=x，PB=y，PC=z，S表示ΔABC的面积，R,r,p分别表示ΔABC的外接圆半径, 内切圆半径和半周长。则
2S=yz*sin120°+zx*sin120°+xy*sin120°, 所以
yz+zx+xy=(4√3)*S/3 (2)
由于P点的三个张角均为120°，由余弦定理得:
a^2=y^2+z^2+yz，b^2=z^2+zx+x^2，c^2= x^2+xy+y^2 (3)
由(2),(3)可得:
(x+y+z)^2=(a^2+b^2+c^2+4√3*S)/2
故所证不等式转化为:
2(bc+ca+ab)≥a^2+b^2+c^2+4√3*S
<==> 4r(4R+r)≥4√3*S <==> 4R+r≥√3*p为己知不等式。