- 在双曲线y^2/12
- 在双曲线y^2/12-x^2/13=1的同一支上不同的三点
A(x1,y1),B(根号26,6),(x2,y2)与焦点F(0,5)的距离成等差数列。
(1)求y1+y2)
(2)证明线段AC的垂直平分线过某一定点,并求出该点的坐标
- (1)由题意可知A,B,C均在双曲线的上支,双曲线实半轴长a=2√3,虚半轴长b=√13,半焦距c=5,与焦点F(0,5)对应的准线方程为y=12/5。
由双曲线的第二定义,易得|AF|=ey1-a,|BF|=6e-a,|CF|=ey2-a。
∵|AF|+|CF=2|BF|,
∴y1+y2=12.
(2)由图形的对称轴知AC的垂直平分线过定点,则必在y轴上,设此点为
P(0,y0),则|PA|=|PC|,x1²+(y1-y0)²=x2²+(y2-y0)²,
即 (13y1²-156)/12+(y1-y0)²=(13y2²-156)/12+(y2-y0)².
整理得 25(y1+y2)(y1-y2)-24(y1-y2)y0=0.
∵ y1≠y2,y1+y2=12
∴25*12-24y0=0,y0=25/2.
∵y0与A,C坐标无关,
∴AC的垂直平分线必过定点(0,25/2).