- 三角形重心问题在ΔABC中，已知∠C=90°，P为三角形内一点，
- 在ΔAB中，已知∠C=90°，P为三角形内一点，满足:
△PAB的面积=△PBC的面积=△PCA的面积。
求证：PA^2+PB^2=5PC^2。
- 不妨设AC>=BC
过A,B作CP垂线,垂足为D,E,CP延长线交AB于M
S△PBC=S△PCA==>AD=BE
AD⊥PC,BE⊥PC==>AD∥BE
==>DM=EM,AM=BM==>CP在中线CM上
同理:AP,BP也在BC,AC边中线上
==>P为△ABC重心
==>PM=1/2PC
M为AB中点,∠ACB=90°==>AM=CM=3/2PC
PA^2+PB^2=(AD^2+PD^2)+(BE^2+PE^2)
=AD^2+(DM+PM)^2+AD^2+(EM-PM)^2
=2AD^2+2DM^2+2PM^2
=2(AD^2+DM^2)+2PM^2
=2AM^2+2PM^2
=2(3/2PC)^2+2(PC/2)^2
=9/2PC^2+1/2PC^2
=5PC^2
PA^2+PB^2=5PC^2