- 一道数学题设函数f(x)=
- 设f(x)=-1/3x^3+x^2+(m^2-1)x (x属于R),其中m大于0
（1）。当m=1时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1))处的斜率。
（2）。求函数f(x)的单调区间和极值。
（3）。已知函数有三个互不相同的零点0,x1,x2.且x1小于x2，若对任意的x属于[x1,x2],f(x)大于f(1)恒成立，求m的取值范围。
麻烦写清解题过程。谢谢
- 设f(x)=-1/3x^3+x^2+(m^2-1)x (x属于R),其中m大于0
（1）。当m=1时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1))处切线的斜率。
解：f(x)=-1/3*x^3+x^2,
f'(x)=-x^2+2x,f'(1)=1，为所求。
（2）。求函数f(x)的单调区间和极值。
解：f'(x)=-x^2+2x+m^2-1
=-(x-1)^2+m^2
=-(x-1+m)(x-1-m),
由m>0知1-m0,此外f'(x)<=0,
∴f(x)的增区间是（1-m,1+m),
减区间是(-∞，1-m],[1+m,+∞）。
f(1-m)=(1-m)[-1/3(1-m)^2+1-m+m^2-1]
=-1/3*(1+2m)(1-m)^2,是它的极小值，
f(1+m)=(1+m)[-1/3*(1+m)^2+1+m+m^2-1]
=-1/3*(1-2m)(1+m)^2, 是它的极大值。
（3）。已知函数有三个互不相同的零点0,x1,x2.且x1小于x2，若对任意的x属于[x1,x2],f(x)大于f(1)恒成立，求m的取值范围。
解：若对任意的x属于[x1,x2],f(x)大于f(1)恒成立,
则f(1)=m^2-1/3<0,
∴m的取值范围是(-(√3）/3，（√3）/3）。