- 三角函数问题已知a>0,y>0，且0<x^2+
- 已知a>0, y>0，且0
- 证明：
(1)若0＜x≤1 ==> 0＜xy≤y＜π, 则cxy＞cosy
∵cosx≤1, ∴1+cosxy＞cosx+cosy
(2)若0＜y≤1 同理可得1+cosxy＞cosx+cosy
(3)若x＞, y＞1 有 xy≤(x+y)²/4, 令其为t
则0＜t²≤π/2, 所以xy≤t²≤π/2
所以cosxy≥cost²
∵cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]≤2cost
所以只需证1+cost²≥2cost
设f(t)=1+cost²-2cost, t∈(1,√(π/2)]
求导, 整理得f'(t)=2t(sint/t-sint²)
∵1＜t＜t²＜π/2
∴sint²＞sint＞sint/t
∴f'(t)＜0
所以t∈[1,√(π/2)]时, f(t)单调递减
∵f[√(π/2)]=1-2cos[√(π/2)]＞1-2cos(π/3)＞0
所以f(t)恒为正, 故原不等式成立.