- 直线方程问题Ax+By+C=0,如何知道此方程的方向向量和法向量
- Ax+By+=0,如何知道此方程的方向向量和法向量?
- 解:(1).AX+BY+=0 的斜率k=-A/B.那么y=(-A/B)X就是过原点且与该直线平行的直线,在此直线上,以原点为起点,取长度为1的矢量作所求直线的方向矢量,此方向矢量的斜率tanӨ=-A/B,cosӨ=B/√(A²+B²),sinӨ=-A/√(A²+B²),即方向矢量为(B/√(A²+B²),-A/√(A²+B²)).但这样很麻烦,一般把它扩大√(A²+B²)倍,即取(B,-A)作方向矢量.更明确一点就是：直线AX+BY+C=0的方向矢量S=Bi-Aj.
(2).求直线的法向量的问题,实际上是如何把直线的一般方程AX+BY+C=0变为法线式方程xcosӨ+ysinӨ-p=0的问题.
因为二者表示同一条直线,因此有：
cosӨ/A=sinӨ/B=-P/C=λ（常数）
所以cosӨ=λA……(1)
sinӨ=λB……(2)
-P=λC……(3)
(1)²+(2)²,得
cos²Ө+sin²Ө=(λA)²+(λB)²,
于是得λ=1/[±√(A²+B²)],故
cosӨ=A/[±√(A²+B²)].
sinӨ=B/[±√(A²+B²)].
-P=C/[±√(A²+B²)].
其中λ=1/[±√(A²+B²)]叫做法线化因子.P是原点到直线的距离.Ө就是从原点向直线所作垂线的倾角.(cosӨ,sinӨ)就是直线的法向量的坐标,即法向量
n=icosӨ+jsinӨ.
这里还有一个符号的选取问题.说来话长,我把结论写出来：
(1).当C≠0时,λ与C异号；
(2).当C=0,B≠0时,λ应与B同号；
(3).当C=0,B=0时,λ应与A同号.
Ө叫做法线的幅角,是从X轴的正向依反时钟方向转到法线的正方向所成的角.
(1).当直线不过原点时,规定从原点向直线作垂线,垂足为N,那么ON所表示的方向就是法线的正方向.此时,
0≤Ө≤2π.P>0.
(2).当直线过原点且不与Y轴重合时,规定向上的方向为法线的正方向.此时0≤Ө＜π,p=0.
(3).当直线过原点又与Y轴重合是,规定向右的方向为法线的正方向,此时,Ө＝0,P=0.