- 设f(n)=1+1/(√2)+1/√(3)+……+1/(√n)试?
- 设f(n)=1+1/(√2)+1/√(3)+……+1/(√n)
试比较f(n)与√(n+1)的大小
- n=1时，f(1)=1<√2；n=2时，1+1/√2<√3
n≥3时，f(n)>√(n+1)（*）
用数学归纳法
(1)n=3时，1+1/(√2)+1/√(3)>2=√4(*)成立
(2)假设n=k(k≥3)时，不等式成立，即
f(k)=1+1/(√2)+1/√(3)+……+1/(√k)>√(k+1)成立
当n=k+1时，
f(k+1)=1+1/(√2)+1/√(3)+……+1/(√k)+1/√(k+1)
>√(k+1)+1/√(k+1)=(k+2)/√(k+1)>(k+2)/√(k+2)
=√(k+2)(*)成立
由(1)(2)可知，
n≥3时，f(n)>√(n+1)成立
[n=1或2时，f(n)<√(n+1)]