- 高中数学
- 求关于导数的性质,使用范围及相关例题
- 1. 导数（导的简称）的定义：设 是函数 定义域的一点，如果自变量 在 处有增量 ，则函数值 也引起相应的增量 ；比值 称为函数 在点 到 之间的平均变化率；如果极限 存在，则称函数 在点 处可导，并把这个极限叫做 在 处的导数，记作 或 ，即 = .
注：① 是增量，我们也称为“改变量”，因为 可正，可负，但不为零.
②以知函数 定义域为 ， 的定义域为 ，则 与 关系为 .
2. 函数 在点 处连续与点 处可导的关系：
⑴函数 在点 处连续是 在点 处可导的必要不充分条件.
可以证明，如果 在点 处可导，那么 点 处连续.
事实上，令 ，则 相当于 .
于是
⑵如果 点 处连续，那么 在点 处可导，是不成立的.
例： 在点 处连续，但在点 处不可导，因为 ，当 ＞0时， ；当 ＜0时， ，故 不存在.
注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3. 导数的几何意义：
函数 在点 处的导数的几何意义就是曲线 在点 处的切线的斜率，也就是说，曲线 在点P 处的切线的斜率是 ，切线方程为
4. 求导数的四则运算法则：
（ 为常数）
注：① 必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.
例如：设 ， ，则 在 处均不可导，但它们和
在 处均可导.
5. 复合函数的求导法则： 或
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
6. 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数 在某个区间内可导，如果 ＞0，则 为增函数；如果 ＜0，则 为减函数.
⑵常数的判定方法；
如果函数 在区间 内恒有 =0，则 为常数.
注：① 是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如 在 上并不是都有 ，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样 是f（x）递减的充分非必要条件.
②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
7. 极值的判别方法：（极值是在 附近所有的点，都有 ＜ ，则 是函数 的极大值，极小值同理）
当函数 在点 处连续时，
①如果在 附近的左侧 ＞0，右侧 ＜0，那么 是极大值；
②如果在 附近的左侧 ＜0，右侧 ＞0，那么 是极小值.
也就是说 是极值点的充分条件是 点两侧导数异号，而不是 =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.
注①： 若点 是可导函数 的极值点，则 =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
例如：函数 ， 使 =0，但 不是极值点.
②例如：函数 ，在点 处不可导，但点 是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.
注：函数的极值点一定有意义.
9. 几种常见的函数导数：
I. （ 为常数）
（ ）
II.
III. 求导的常见方法：
①常用结论： .
②形如 或 两边同取自然对数，可转化求代数和形式.
③无理函数或形如 这类函数，如 取自然对数之后可变形为 ，对两边求导可得 .
例题: 函数 ，在曲线 上的点 处的切线方程为y=3x+1．
（1）若 时有极值，求 的表达式；
（2）在（1）的条件下，若对于任意 都有 成立, 求实数 的取值范围；
（3）若函数 在区间[－2，1]上单调递增，求b的取值范围。