- 能被5整除的m个不同的正偶数与能被3整除的n个不同正奇数的总和为?
- 最大值为123.求M的最大值。
- 由题意，有
M≥5·(2+4+···+2m)+3·[1+3+5+···+(2n-1)]
=5m(m+1)+3n^2.
即5(m^2+m)+3n^2≤M
→5(m+1/2)^2+3n^2≤M+5/4.
依auchy不等式知，
5(m+1/2)+3n
≤√[(√5)^2+(√3)^2]·√[(√5(m+1/2))^2+(√3n)^2]
≤√8·√(M+5/4)
=√(8M+10).
故5m+3n≤√(8M+10)-5/2.
∵5m+3n的最大值为123，
∴123≤√(8M+10)-5/2<124.
∴1967.5312≤M<1999.0312.
所以，M的最大值不超过1999.
当5m+3n=123时，m=3k，n=41-5k(k∈N).
∵5m^2≤M<2000，3n^2≤M<2000，
∴m<20，n<26.
∴{3k<20，41-5k<26}，解得3