- 数学题如图，D是等边三角形ABC外的一点，DB=DC，∠BDC=
- 如图，D是等边三角形AB外的一点，DB=DC，∠BDC=120°，点E、F分别在AB、AC上。
（1）求证：AD是BC的垂直平分线；
（2）求证：若ED平分∠BEF，则：①FD平分∠EFC；②△AEF的周长是BC的2倍。
- 如图，D是等边三角形AB外的一点，DB=DC，∠BDC=120°，点E、F分别在AB、AC上。
（1）求证：AD是BC的垂直平分线；
因为△ABC为等边三角形，所以：AB=AC
已知DB=DC
边AD公共
所以，△ABD≌△ACD（SSS）
所以，∠BAD=∠CAD
即AD为∠BAC平分线
而，AB=AC
所以，AD垂直平分BC
（2）求证：若ED平分∠BEF，则：
①FD平分∠EFC；
如图
过点D作EF的垂线，垂足为G
因为DB=DC，∠BDC=120°
所以，∠DBC=∠DCB=(180°-120°)/2=30°
而△ABC为等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°
所以，∠ABD=∠ACD=90°
已知∠1=∠2
∠EBD=∠EGD=90°
边ED公共
所以，Rt△EBD≌Rt△EGD（AAS）
所以，BE=EG，BD=GD=CD
而∠FGD=∠FCD=90°
边FD公共
所以，Rt△FGD≌Rt△FCD
所以，∠3=∠4
即，FD平分∠EFD
②△AEF的周长是BC的2倍。
由①知，△BED≌△GED，△FGD≌△FCD
所以，EG=EB，FG=FC
所以，△AEF周长=AE+EF+AF=AE+EG+GF+AF=(AE+EB)+(FC+AF)=AB+AC
而，△ABC为等边三角形
所以，AB+AC=2BC
所以，△AEF周长=2BC