- 等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+√2，S3=9+3√?
- 等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+√2，S3=9+3√2
如图所示：
- 【1】由于S(n)=n*a(1)+[n(n-1)/2]d，所以d=[S(3)-3a(1)]/3=2。
a(n)=a(1)+(n-1)d=(1+√2)+2(n-1)=2n-1+√2
S(n)=[a(1)+a(n)]*(n/2)=n(n+√2)。
【2】b(n)=a(n)-√2=2n-1，记c(i)=b(Ki)，p(i)是等比数列。
K1=1，p(1)=b(K1)=b(1)=1，
K4=63，p(4)=b(K4)=b(63)=125，
公比q=[p(4)/p(1)]^(1/3)=5，
p(i)=P(1)*q^(i-1)=5^(i-1)，
b(Ki)=5^(i-1)
==> 2*Ki-1=5^(i-1)
==> Ki=[1+5^(i-1)]/2。
【3】c(n)=S(n)/n=n+√2，用反证法来证明：
若有不同的i、j、k，使c(i)、c(j)、c(k)项等比，
则c(i)*c(k)=[c(j)]^2
==> (i+√2)*(k+√2)=(j+√2)^2
==> ik+2+(i+k)√2=j^2+2j√2+2
==> ik=j^2，i+k=2j
==> i=j=k
得到与【假设i、j、k不同】相反的结论，命题得证。