- 有关椭圆切线的问题已知：椭圆方程x^2/4+y^2/3=1P为椭
- 已知 ：椭圆方程 x^2/4+y^2/3=1
P为椭圆上异于顶点的任意一点
过P作椭圆的切线l 交y轴与A
过P作l的垂线 交y轴于B
求证 ：以A B为直径的圆经过定点 并求出该定点
Ps ：与椭圆焦点有关 。求详解 。
- 设点P（x0，y0）（x0≠0，y0≠0），
直线l的方程为y-y0=k（x-x0），代入x^2/4+y^2/3=1，
整理后得（3+4k^2）x^2+8k（y0-kx0）x+4（y0-kx0）^2-12=0．
∵x0是方程的两个相等实根，根据韦达定理得
2x0=-8k(y0-kx0) /(3+4k^2)
解得k=-3x0/4y0
∴直线l的方程为y-y0=(-3x0/4y0)（x-x0）
令x=0，得点A的坐标为[0，(4y0^2+3x0^2)/4y0]
又∵x0^2/4+y0^2/3=1，
∴4y+3x0=12．
∴点A的坐标为（0，3/y0）．
又直线l′的方程为y-y0=(4y0/3x0)（x-x0），
令x=0，得点B的坐标为（0，-y0/3）．
∴以AB为直径的圆的方程为x•x+（y-3/y0）•（y+y0/3）=0．
整理后得x^2+y^2+（y0/3-3/y0）y-1=0．
令y=0，得x=±1，
∴以AB为直径的圆恒过定点（1，0）和（-1，0）