- 塞瓦三角形问题设P是三角形ABC内一点，直线AP，BP，CP与三
- 设P是三角形AB内一点，直线AP，BP，CP与三边的交点分别为D,E,F。则三角形DEF叫做点P的塞瓦三角形。试证点P的塞瓦三角形DEF的面积不超过三角形ABC面积的四分之一。
- 设P是三角形AB内一点，直线AP，BP，CP与三边的交点分别为D,E,F。则三角形DEF叫做点P的塞瓦三角形。试证点P的塞瓦三角形DEF的面积不超过三角形ABC面积的四分之一。
证明 设三角形ABC的面积为S, 塞瓦三角形DEF的面积为S1, 三角形AEF的面积为Sa, 三角形BFD的面积为Sb, 三角形CDE的面积为Sc。令BD=xBC,CE=yCA,AF=zAB，则CD=(1-x)BC,AE=(1-y)CA,BF=(1-z)AB。那么
Sa=(AE*AF*sinA)/2=z*(1-y)*S，
Sb=(BD*BF*sinB)/2=x*(1-z)*S，
Sc=(CD*CE*sinC)/2=y*(1-x)*S。
所以有
S1=S-Sa-Sb-Sc=S*[1-z*(1-y)-x*(1-z)-y*(1-x)]
=S*[1-(x+y+z)+yz+zx+xy] ，
据此命题[S≥4S1]转化为证明
4*[1-(x+y+z)+yz+zx+xy]≤1
根据塞瓦定理得:
xyz=(1-x)*(1-y)*(1-z)
上述恒等式展开等价于
1+yz+zx+xy=2xyz+x+y+z
所以4*[1-(x+y+z)+yz+zx+xy]≤1等价于
8xyz≤1
而xyz=√[x*y*z*(1-x)*(1-y)*(1-z)]≤(1/2)^3=1/8，
所以S≥4S1证毕。