- 一道数学题已知数列{an}中，a1=t,a2=t^2(t＞0），
- 已知数列{an}中，a1=t,a2=t^2(t＞0），且a n+1=(t+1)a n-ta n-1(n≥2）。（注：空格后的n+1,n,n-1为脚标）
1.若t≠1，求证：数列{a n+1-a n}是等比数列；
2.求数列｛a n｝的通项公式；
3.若1/2＜t＜2，b n=2a n/(1+an^2)(n∈N*），求证：1/b1+1/b2+1/b3+……+1/bn＜2^n-2^(-n/2)
- 楼主我在这里用<>表示角标,*表示乘号,容易引起误会的地方尽量都打上括号.
楼主哪里不懂可以消息我哟!
[1]由已知: t≠1,t>0 得 a-a≠0
又因为a-a=t(a-a)且a<2>-a<1>=t(t-1)
可知数列{a-a}是以t(t-1)为首项,以t为公比的等比数列.
[2]
(i)当t≠1时
由[1]得:a-a=(t-1)*(t^n) 则有:
a-a=(t-1)*(t^n).........................{1}
a-a=(t-1)*[t^(n-1)]................{2}
a-a=(t-1)*[t^(n-2)]................{3}
...
a<2>-a<1>=(t-1)t.....................................{n-1}
叠加上述n-1个等式得:
a-a<1>=(t-1)[t+t^2+t^3+...+t^(n-1)+t^n]=t^n-t
则:a=t^n (t>0,t≠1,n∈N*)
(ii)当t=1时 由题意易知:a=1 (t=1,n∈N*)
综上所述:数列{a}通项公式为a=t^n (t>0,n∈N*)
[3]由题意可知: 1/b = (1/2)*[t^n+t^(-n)]
令S=1/b<1>+1/b<2>+1/b<3>+……+1/b
则有:
2*S=[t+t^2+t^3+...+t^n]+[(1/t)+(1/t)^2+...+(1/t)^n]
=[t+1/t]+[t^2+(1/t)^2]+...+[t^n+(1/t)^n]
因为1/2 1
所以 2^(n/2 -1) > 1/2
所以 1/2+2^(n/2 -1) > 1
所以 2^(-n-1)+1/2 > 2^(-n/2)
所以 -2^(-n-1)-1/2 < -2^(-n/2)
所以 2^n-2^(-n-1)-1/2 < 2^n-2^(-n/2)................(#)
由(*)和(#)可知:S<2^n-2^(-n/2)
证毕