- 高一数学函数对号函数f(x)=x+a/x(a大于0)的单调性应用
- 对号f(x)=x+a/x(a大于0)的单调性应用是怎样的？根号a是怎么出现的？
- 由均值不等式a+b≥2√(ab),(a>0,b>0), 可得 f(x)=x+(a/x)≥2√[x·(a/x)]=2√a, 当且仅当x=a/x,即x=√a时取"="号.
如图所示：对号f(x)=x+a/x(a>0)在(0,√a]上是减函数,在[√a,+∞)上是增函数,用增(减)函数定义不难证明之. 主要用于在用均值不等式求最值时"="成立的条件不满足时,改用对号函数f(x)=x+a/x(a>0)的单调性,问题会迎刃而解.
比如试求函数y=sinx+(4/sinx),x∈[30°,90°]的值域.
∵ x∈[30°,90°], ∴1/2≤sinx≤1, 若用均值不等式,则y≥2√4=4,但y=4却不是最小值,∵ "="号成立时sinx=4/sinx, ∴ sinx=±2,这是不可能的.
由对号函数f(x)=x+a/x(a>0)的单调性,设sinx=t,则f(t)=t+(4/t)(1/2≤t≤1)(此时√a=2)在[1/2,1]上是减函数, ∴ f(min)=f(1)=5,f(max)=f(1/2)=17/2. ∴ 值域为[5,17/2]