- 几何在四边形ABCD中，∠A+∠C=90°,求证(AB*CD)^
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在四边形AB中，∠A+∠C=90°, 求证
(AB*CD)^2+(BC*DA)^2=(AC*BD)^2
- 证明 在四边形ABCD内取点E，使∠EDC=∠BAC，∠ECB=∠ACD，
则∠ECD=∠ACB，故ΔECD∽ΔBCA，
即CD/AC=DE/AB=CE/BC，从而DE=AB*CD/AC，
连结BE，因为DE/AB=CE/BC，∠ECB=∠ACD，
所以ΔECB∽ΔDCA，故BC/AC=BE/AD
从而BE=AD*BC/AC。
由于∠BED=360°-∠BEC-∠DEC=360°-∠ADC-∠ABC=∠BAD+∠BCD=90°。
所以在Rt△BED中,BE^2+DE^2=BD^2，于是
(AD*BC/AC)^2+(AB*CD/AC)^2=BD^2，
<==> (AB*CD)^2+(BC*DA)^2=(AC*BD)^2。
命题得证。
此命题可直接运用四边形余弦定理直接证得
(AC*BD)^2=(AB*CD)^2+(BC*DA)^2-2AB*BC*CD*DA*cos(∠A+∠C) 。