- 已知直线L:Y=2X
- 已知直线L:Y=2X-1与抛物线:Y平方=2PX(P>0)交于A,B两点,若抛物线上存在点M,使三角形MAB的重心恰好是抛物线C的焦点F,则P为多少
- 已知直线L:Y=2X-1与抛物线:Y平方=2PX(P>0)交于A,B两点,若抛物线上存在点M,使三角形MAB的重心恰好是抛物线C的焦点F,则P为多少
抛物线C：y^2=2px（p＞0）的焦点为F(p/2,0)
联立直线L与抛物线C得到：(2x-1)^2=2px
===> 4x^2-4x+1-2px=0
===> 4x^2-2(p+2)x+1=0
===> xa+xb=2(p+2)/4=(p/2)+1
而，ya=2xa-1，yb=2xb-1
所以，ya+yb=2(xa+xb)-2=2*[(p/2)+1]-2=p
点M在抛物线C上，设点M(a^2/2p,a)
那么，△ABM的重心横坐标为X=(xa+xb+xm)/3=[(p/2)+1+(a^2/2p)]/3
重心纵坐标为Y=(ya+yb+ym)/3=(p+a)/3
已知重心(X,Y)与焦点F(p/2,0)重合，所以：
(p+a)/3=0 ===> a=-p
[(p/2)+1+(a^2/2p)]/3=p/2
===> (p/2)+1+(p/2)=3p/2
===> p/2=1
===> p=2