- 求复合三角函数y=(sinA+sinB+sinC)/(cosA+?
- 已知A、B、为任意三角形的内角，求函数y=(sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)的取值范围。
答案据说是(0,2)；请给出详细解题过程。
- 求P=(sinA+sinB+sin)/(cosA+cosB+cosC)的值域
做一个角的变换，B+C=2x,C+A=2y,A+B=2z
则A=y+z-x,B=z+x-y,c=x+y-z,x,y,z均为锐角,且x+y+z=π
于是sinA+sinB+sinC=4sinxsinysinz
cosA+cosB+cosC=1+4cosxcosycosz
P=4/(cscxcscycscz+4cotxcotycotz)
记Q=cscxcscycscz+4cotxcotycotz
再令a=cotx,b=coty,c=cotz,那么ab+bc+ca=1，a,b,c>0
于是1+c^2=(c+a)(b+c)
Q=√[(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)]+4abc
=(a+b)(b+c)(c+a)+4abc
=(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc
=a+b+c+3abc
当一个角趋于0，另两个角趋于π/2时，Q趋于无穷大
P的下界为0，P>0
假设c为最大者，先固定c，此时有ab≤1/3,ab≥3a^2b^2,
则ab+c(a+b)=1,a+b=(1-ab)/c
Q=(1-ab)/c+c+3abc=(1-ab)/c+c(1+3ab)≥2√(1+2ab-3a^2b^2)
≥2√(1+ab)>2
以下考察Q是否趋向于2，当其中一个角趋于π/2,另两个角趋于π/4时，Q趋于2,所以Q的下界为2,即Q>2，
P<2
【这里已经证明了P>2，回到原式也能看出，当两个角趋于π/2，第三个角趋于0时，分子趋于2，分母趋于1】
综上所述，P的值域为(0,2)
实际上，在前面已经证明了P可以趋于0了！下面从原式出发再作说明：由于原来的三角形为任意三角形，我们都知道cosA+cosB+cosC>1，但分子中，当有两个角趋于0，第三个角趋于π时，原式明显趋于0
我的方法比较粗俗，证得不太漂亮，还望见谅
首先sinA+sinB+sin=2sin(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)+sin(π-A-B)
=2sin(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)+sin(A+B)
=2sin(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)+2sin(A/2+B/2)cos(A/2+B/2)
=2sin(A/2+B/2)[cos(A/2-B/2)+cos(A/2+B/2)]
=2sin(π/2-C/2)*2cos(A/2)cos(B/2)
=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
其次cosA+cosB+cosC=2cos(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)+cos(π-A-B)
=2cos(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)-cos(A+B)
=2cos(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)-2cos²(A/2+B/2)+1
=2cos(A/2+B/2)[cos(A/2-B/2)-cos(A/2+B/2)]+1
=2cos(π/2-C/2)*2sin(A/2)sin(B/2)+1
=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)+1
于是y=(sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)/[4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)+1]
考虑到00,cos(B/2)>0,cos(C/2)>0
sin(A/2)>0,sin(B/2)>0,sin(C/2)>0
则y=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)/[4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)+1]>0，于是函数y的下界就确定了
由于cos(A/2)>0,cos(B/2)>0,cos(C/2)>0，我们把cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)除到分母上去就得到：
y=4/[4tan(A/2)tan(B/2)tan(C/2)+sec(A/2)sec(B/2)sec(C/2)]
我要利用三角恒等式：
tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
下面做出证明：
左=tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(π/2-A/2-B/2)+tan(A/2)tan(π/2-A/2-B/2)=tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)cot(A/2+B/2)+
tan(A/2)cot(A/2+B/2)=tan(A/2)tan(B/2)+[tan(A/2)+tan(B/2)]/tan(A/2+B/2)=tan(A/2)tan(B/2)+1-tan(A/2)tan(B/2)=1=右
现在我们令u=tan(A/2),v=tan(B/2),w=tan(C/2)
则uv+vw+wu=1，u>0,v>0,w>0
又由于sec²x=1+tan²x,特别地，当00不等号严格取到
故分母>2,此时y<4/2=2,2就是所要求的函数y的上界
综上所述：y的取值范围是(0,2)