- 高数的两个问题题是这样：1.设f(x)在开区间（a,b）内可导，
- 题是这样：1.设f(x)在开区间（a,b）内可导，且f'(x)在(a,b)内有界，试证f(x)在(a,b)有界.
2.试证：若f(x)在(a,b)内连续，则其原函数F(x)在(a,b)在。
请各位大虾给出详解，谢谢
- 1、证明：取c∈(a,b)，设f(c)=N（常数），对任x∈(a,b)，
对f(x)在以x与c为端点的闭区间上应用拉格朗日中值定理，有
f(x)-f(c)=f'(ξ)(x-c) ==> |f(x)-f(c)|=|f'(ξ)||x-c|
因为f'(x)在(a,b)内有界，有|f'(ξ)|≤M，又|x-c|≤|b-a|
所以|f(x)-f(c)|≤M|b-a|，从而有
|f(x)|=|f(x)-f(c)+f(c)|≤|f(x)-f(c)|+|f(c)|
≤M|b-a|+|N|（常数）
即f(x)在(a,b)有界.
2、这不就是原存在定理吗，书上都有证明的，在牛顿-莱布尼兹定理前面的那个。
取c∈(a,b)，令F(x)=∫f(t)dt
用定义求F(x)的导数，得到F'(x)=f(x)，就完成证明了，只要把书上证明里的a换成c，抄下来就行。
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什么书？这个定理不证明，还算什么教材！
ΔF(x)=F(x+Δx)-F(x)=∫f(t)dt-∫f(t)dt
=∫f(t)dt+∫f(t)dt=)=∫f(t)dt
=f(ξ)Δx （ξ介于x与x+Δx之间，这里用积分中值定理）
ΔF(x)/Δx=f(ξ)
lim<Δx→0>ΔF(x)/Δx=lim<Δx→0>f(ξ)=f(x) （用到f(x)连续）
即F'(x)=f(x)。