- 三角函数求实数α的取值范围，使得对任意实数x和任意θ∈[0,π/
- 求实数α的取值范围，使得对任意实数x和任意θ∈[0,π/2]恒有(x+3+2sinθcθ)^2+(x+αsinθ+αcosθ)^2≥1/8
- 解：原不等式等价于
(3+2sinθcθ-αsinθ-αcosθ)²≥1/4, θ∈[0,π/2]
将其看作关于α的二次方程.
解得α≥(3+2sinθcosθ+1/2)/(sinθ+cosθ)
或α≤(3+2sinθcosθ-1/2)/(sinθ+cosθ)
∵θ∈[0,π/2], 1≤sinθ+cosθ≤√2
(3+2sinθcosθ+1/2)/(sinθ+cosθ)=(sinθ+cosθ)+5/2*1/(sinθ+cosθ)
当1≤x≤√2时, f(x)=x+5/2*1/x为减函数, 所以
max[(3+2sinθcosθ+1/2)/(sinθ+cosθ)]=max[f(x)]=1+5/2=7/2
∴α≥7/2
(θ∈[0,π/2], 1≤x≤√2)
又
(3+2sinθcosθ-1/2)/(sinθ+cosθ)=(sinθ+cosθ)+3/2*1/(sinθ+cosθ)≥2√(3/2)=√6
当且仅当sinθ+cosθ=√6/2时, 等号成立
∴α≤√6
综上所述 α≥7/2 或 α≤√6.