- 类似定积分保号性f(x),g(x)均可积,若f(x)>g(
- f(x),g(x)均可积,若f(x)>g(x),则对f(x)的在[a,b]定积分>对g(x)的在[a,b]定积分呢?(有点类似于保号性),多谢
- 先证明命题如下.
命题:若在[α,β],F(x)≥0,且可积,∫{α→β}F(x)dx=0.
==>任意ε>0,有α≤δ<η≤β,
使M(δ,η)=sup{ F(x),x∈[δ,η]} ≤ε
命题的证明: 根据可积性得,任意ε>0,有n>0,
使
1/n[M(a,a+(b-a)/ n)+ M(a+(b-a)/ n,a+2(b-a)/ n)+..+ M(a+(b-a)(n-1)/ n,b)] ≤ε/2
若所有:
M(a,a+(b-a)/ n), M(a+(b-a)/ n,a+2(b-a)/ n),.., M(a+(b-a)(n-1)/ n,b)>
>ε,
则ε<ε/2矛盾,所以题成立。
现证明你的问题。
1.在[a,b],设F(x)=f(x)-g(x)>0,且可积.
反证法:
2.设∫{a→b}F(x)dx=0==>
a≤c
A=∩{ 1≤n}[an,bn]不空
当x∈A==> x∈[an,bn] ==>
F(x)≤M(an,bn)=sup{ F(x),x∈[an,bn]} ≤1/n
==> F(x)≤0,和F(x)>0矛盾。
所以∫{a→b}F(x)dx>0。
你的命题成立。