- 整除的规律都有哪些?除了能被2,3,5整除这些简单的规律以外,有
- 除了能被2,3,5整除这些简单的规律以外,有没有被数整除的规律?
能不能推广到其他所有?
谢谢!!
- 就像2的倍数的个位都能被2整除、3的倍数的各位数之和能被3整除一样，每个数的倍数都有特点，一些常用的如下：
4的倍数的（个位数 + 十位数的2倍）能被4整除，
5的倍数的个位数能被5整除，
6的倍数的（个位数 + 各位数的4倍）能被6整除，
8的倍数的（个位 + 十位×2 + 百位×4）能被8整除，
9的倍数的各位数之和能被9整除，
11的倍数的（所有奇数位之和 + 所有偶数位之和的10倍）能被11整除
【注】：单数位指从小数点往左数是单数的那些位，如个位、百位；双数位相反，如十位、千位
其普遍规律如下：
设数n的倍数是m，也就是说m能被n整除，那么m的各位数是有一定的特点的。
设m的个位数为a0，十位数为a1，依次类推，那么m可以表示为
m＝a0 + a1×10 + a2×100 + a3×1000 + ……，
分别用1，10，100，……除以n，所得的余数分别作为对应的a0,a1,a2,……的系数，也就是与a0,a1,a2,……相乘，然后加起来，所得的数记作s，如果s能被n整除，那么m就能被n整除。
【注】：0能被任意数整除；
【注】：1÷7的余数为1，3÷5的余数为3，依此类推
【注】：为表示方便，1÷7的余数记为 1％7，依此类推
比如：找4的倍数，那么就分别计算1％4＝1，10％4＝2，100％4＝0，以后的余数都为0，就不用算了，然后将1，2作为a0，a1的系数，将它们相加得到s，s可以表示为
s＝a0×1 + a1×2 ＝a0 + a1×2，
如果s能被4（即为上面的n）整除，那么由a0作个位，a1作十位的所有数m都能被4整除
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为了计算方便，凡是遇到余数超过被除数n的一半的情况，就减去一个n。如：3％4＝3，超过了4的一半2，故在与a0、a1等相乘时最好换为（3－4），即（－1）。
以11为例：
计算1％11＝1，10％11＝10，超过了11的一半，故按（10－11＝－1）处理；
100％11＝1，1000％11＝10，同样转换为（－1），……
此时，s＝a0×1 + a1×（-1） + a3×1 + a4×（-1） + ……，
即：s＝a0 - a1 + a2 - a3 + ……，
也就是“所有单数位之和 － 所有双数位之和”
所以11的情况可简化为：
11的倍数的（所有奇数位之和 － 所有偶数位之和）能被11整除