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设f(x)在[0,1]上连续且单调减少,利用积分中值定理证明∫(
∫(0→a)f(x)dx≥a∫(0→1)f(x)dx(0
[∫(0→a)f(x)dx]-a[∫(0→1)f(x)dx] =[∫(0→a)f(x)dx]-a[∫(0→a)f(x)dx+∫(a→1)f(x)dx] =(1-a)[∫(0→a)f(x)dx]-a[∫(a→1)f(x)dx] =(1-a)[af(u)]-a[(1-a)f(v)] =a(1-a)[f(u)-f(v)。 最后第二个等式是根据f(x)在[0,1]上连续,利用积分中值定理得到,其中 0≤u≤a≤v≤1。 根据f(x)在[0,1]上单调减少,所以有f(u)≥f(v), 这就得到了 ∫(0→a)f(x)dx-a∫(0→1)f(x)dx≥0, 即 ∫(0→a)f(x)dx≥a∫(0→1)f(x)dx(0
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