- 不等式的证明1.a∧2+b∧2+5≥2(2a
- 1.a∧2+b∧2+5≥2(2a-b)
2.x∧3>x∧2-x+1 (x>1)
3.(a+b /2)∧2ab(a-b) (a>b)
- 1.a∧2+b∧2+5≥2(2a-b)
你这个“∧”表示的是乘方吗？
<===> a^2+b^2+5≥4a-2b
<===> a^2+b^2+5-4a+2b≥0
<===> (a^2-4a+4)+(b^2+2b+1)≥0
<===> (a-2)^2+(b+1)^2≥0
因为：(a-2)^2≥0，(b+1)^2≥0
所以显然成立
2.x∧3>x∧2-x+1 (x>1)
<===> x^3-x^2+x-1＞0
<===> x^2*(x-1)+(x-1)＞0
<===> (x^2+1)*(x-1)＞0
因为x^2+1≥1＞0，且x-1＞0
所以上式显然成立
3.(a+b /2)∧2 (a+b)^2/4＜(a^2+b^2)/2
<===> (a+b)^2＜2(a^2+b^2)
<===> a^2+b^2+2ab＜2a^2+2b^2
<===> a^2-2ab+b^2＞0
<===> (a-b)^2＞0
严格的说应该是(a-b)^2≥0，但是在这里是认为a≠b的，所以：
(a-b)^2＞0
故原式成立
4.(a∧2+1)(b∧2+1)(c∧2+1)≥8abc
由均值不等式有：a^2+1≥2a，b^2+1≥2b，c^2+1≥2c
所以：
(a^2+1)*(b^2+1)*(c^2+1)≥2a*2b*2c=2abc
当且仅当a=b=c=1时取等号
5.a∧3-b∧3>ab(a-b) (a>b)
<===> (a-b)*(a^2+ab+b^2)＞ab(a-b)
<===> (a-b)*(a^2+ab+b^2)-ab(a-b)＞0
<===> (a-b)*(a^2+b^2)＞0
因为a＞b
所以，a-b＞0，a^2+b^2＞0
故原式成立