- 求基础解系的方法书上做法:确定主元为x1x3x4后,自由未知量x
- 上做法:确定主元为x1 x3 x4后,自由未知量x2 x5取(1,0)(0,1),带入UX=0 得到基础解系:X1=..X2=..两个列向量
这里我看不懂x2 x5带入的情况 (1,0)(0,1)这两个是什么啊 还有X1 X2怎么求的?
- “主元为x1 x3 x4后,自由未知量x2 x5”。x1,x3,x4的值取决于自由未知量x2,x5的值。
举例说明:
方程组:
x1-x2-x3+x4=0
x1-x2+x3-3x4=0
x1-x2-2x3+3x4=0
系数矩阵A经过初等行变换化为(化成行最简形):
1,-1,0,-1
0, 0,1,-2
0, 0,0, 0
A的秩等于2<4,所以方程组有非零解。
与原方程组通解的方程组是:
x1-x2 -x4=0
x3-2x4=0
有二个未知量是自由未知量,比如取x2,x4为自由未知量,则
x1=x2+x4
x3=2x4
设x2=c1,x4=c2,则x1=c1+c2,x3=2c2,方程组的通解是:
x=(c1+c2,c1,3c2,c2)=c1(1,1,0,0)+c2(0,0,2,1)
这里可以证明(1,1,0,0),(0,0,2,1)线性无关,所以它们就是方程组的解系。而这个基础解系的由来可以看作是让自由未知量x2,x4分别取(1,0)和(0,1)后得到两个的解向量。(之所以取(1,0)和(0,1)是为了保证线性无关)
所以一般的解法就是先求基础解系,再表示通解。方法就是初等变换后得到通解方程组,确定自由未知量,让自由未知量取形如(1,0,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,0,0,...,1)的值,对应的解向量就是基础解系。