- 坑爹的数学题已知函数f(x)=lg(x+a/x
- 已知f(x)=lg(x+a/x-2),其中a为大于零的常数
注:分母为x 分子为a
(1)求函数f(x)定义域
(2)当a∈(1,4)时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值
(3)若对于任意X∈[2,+∞]恒有f(x)>0,试确定a的取值范围。
- 1)定义域还要考虑a的取值情况,观察不难发现
a>1时,定义域为x>0
当a=1时,定义域为x>0,但x不等于1
a<1时,考虑方程x+a/x-2=0
首先必须满足x>0
从根的判别式可知,有2个不同的实数根。
就是说对于二次函数开口向上,与x轴有2个交点,要求其大于零。
x=[2±√(4-4a)]/2=1±√(1-a)
所以其定义域为01+√(1-a)
2)
考虑函数g(x)=x+a/x-2
g'(x)=1-a/x^2,可知当x=√a时,g'(x)=0
可见在考察的[2,+∞)上,没有导数为0的点,
显然该函数在[2,+∞)上单调增,因而f(x)也单调增
所以最小值
Min [f(x)]=f(2)=lg(a/2)
3) f(x)>0相当于g(x)>1
即: x+a/x-3>0
首先,仍然要求x>0 (根据题设a>0)
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