- 几道数学题，希望今天晚上有答案。。。o(∩_∩)o...1.已知
- 1.已知x^2+y^2≤1，求证：│x^2+2xy-y^2│≤√2
2.已知a＞b＞c,求证：（1/（a-b))+(1/(b-c))≥4/(a-c)
3.设a1,a2,…an都是正数，证明对任意的数n，下面不等式成立：（a1+a2+…+an）^2≤n（a1^2+a2^2+…+an^2)
- 1）证：因为x^2+y^2=<1，故可以设x=Rct，y=Rsint(R=<1)
|x^2+2xy-y^2|
=R^2*|(cost)^2-(sint)^2+2sintcost|
=R^2*|cos2t+sin2t|
=R^2*|√2sin(2t+pi/4)|
=√2R^2*|sin(2t+pi/4)|
R^2=<1,|sin(2t+pi/4)+=<1--->√2*R^2|sin(2t+pi/4)|=<√2.
因此|x^2+2xy-y^2|=<√2.证完
2）证：a>b>c-->a-b>0,b-c>0,a-c>0
(a-c)^2=[(a-b)+(b-c)]^2
>=(a-b)^2+(b-c)^2+2(a-b)(b-c)
>=2(a-b)(b-c)+2(a-b)(b-c)
=4(a-b)(b-c)
--->(a-c)[(a-b)+(b-c)]>=4(a-b)(b-c) 两边同除(a-b)(b-c)(a-c)
--->[(a-b)+(b-c)]/[(a-b)(b-c)]>=4/(a-c)
--->1/(a-b)+1/(b-c)>=4/(a-c).证完