- 集合的问题已知S是两个整数平方和的集合，即S={x│x=m^2+
- 已知S是两个整数平方和的集合，即S={x│x=m^2+n^2,m∈Z,n∈Z│。求证：
1）若s,t∈S，则st∈S
2）若s,t∈S,t不等于0,则s/t=p^2+q^2,其中p,q为有理数。
- (1)我们不妨假设 有s=a^2+b^2, t=c^2+d^2 （a,b,c,d均为整数）
则st=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac)^2+(bd)^2+(ad)^2+(bc)^2
=[(ac+bd)^2-2abcd]+[(ad-bc)^2+2abcd]=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2
由此可以看出，我们将st也可以表示成两个整数的平方和的形式，故得证
(2)我们以上面的假设继续证明这道题
s/t=(a^2+b^2)/(c^2+d^2)[其中因为t不等于0，故这里的c*d≠0]
=(a^2+b^2)(c^2+d^2)/(c^2+d^2)
利用上面的证明结论=[(ac+bd)^2+(ad-bc)^2]/(c^2+d^2)
=(ac+bd)^2/(c^2+d^2)+(ad-bc)^2/(c^2+d^2)
=[(ac+bd)/p']^2+[(ad-bc)/p']^2
其中(p')^2=c^2+d^2 (p'为一实数)，故而得证