- 牛顿线完全四边形的对角线的中点共线
- 完全四边形的对角线的中点共线
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引理 在四边形AB中，M、N分别是对角线ＡＣ、ＢＤ的中点，又ＡＤ、ＢＣ的延长线相交于点Ｐ。则三角形ＰＭＮ的面积是四边形ABCD的面积的四分之一
引理证明 设E,F分别边AB,CD的中点，连ME,MF,NE,NF。
则ME∥BC,MF∥AD,NE∥AD,NF∥BC，所以四边形EMFN为平行四边形。
由于NF∥BC，所以得:
S(PFN)=S(BNF)=S(BDF)/2=S(BDC)/4. (1)
同理可得:S(PFM)=S(ACD)/4. (2)
由于有
S(PMN)=S(PFN)+S(PFM)+S(FMN)=[S(BDC)+S(ACD)]/4+S(EMFN)/2.(3)
所以只需证明:
S(EMFN)=[S(ABD)-S(ACD)]/2. (4)
延长EM，NF分别交AP于G,H。平行四边形ENHG的底EN=AD/2，EN上高[即EN与AB的距离]等于三角形ABD的边AB上的高的一半，所以
S(ENHG)=S(ABD)/2.
同理可得:S(FMGH)=S(ACD)/2。
故 S(EMFN)=S(ENHG)-S(FMGH)=[S(ABD)-S(ACD)]/2.
所以(4)式成立，将(4)式代入(3)式即得所得结论.
设BA,CD交于Q,则由引理得:
4S(QMN)=S(ABCD).
4S(PMN)=S(ABCD).
设MN交PQ于L,由于
S(PMN)=S(QMN)
所以P,Q到MN的距离相等,
从而L是对角线PQ的中点.
直线MN称为完全四边形的牛顿线.