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- 三、伯努利大数定律
现在我们来介绍伯努利《推测术》的最重要部分――包含了如今我们称之为伯努利大数定律的第4部分。回到本章开始那个缶中抽球的模型：缶中有a白球，b黑球，p＝ 。有放回地从缶中抽球N次，记录得抽到白球得次数为X，以 去估计p。这个估计法现今仍是数理统计学中最基本的方法之一。此处的条件是，每次抽取时都要保证缶中a＋b个球的每一个有同等机会被抽出。这一点在实践中并不见得容易。例如，产生中奖号码时用了复杂的装置。在实际工作中，统计学家有时用一种叫做“随机数表”的工具。这时一本大书，各页按行、列排列着数字0，1，…,9,它们是用据信是“充分随机”的方法产生的。在使用时，“随机地”翻到其中一页并“随机”点到一个位置，以其处地数字决定抽出地对象。
伯努利企图证明的是：用 估计p可以达到事实上的确定性――他称为道德确定性。其确切含义是：任意给定两个数 和 ，总可以取足够大的抽取次数N，使事件 的概率不超过 。这意思是很显然： 表明估计误差未达到指定的接近程度 ，但这种情况发生的可能性可以随心所欲地小（代价是加大N）。为忠实于伯努利地表达形式，应指出两点：一是伯努利把 限定为 ，虽然其证明对一般 也有效。他作这一限定与所有缶子模型的特殊性有关：必要时把缶中的白、黑球分别改为 和 个，则p不改变， 改为 ，只须r取足够大，可使此数任意小。其次，伯努利要证的是：对任给c>0，只须抽取次数N足够大，可使
. (8)
这与前面所说是一回事。因为由上式得
, (9)
取c充分大可使它小于 。另外要指出的是：伯努利使用的这个缶子模型使被估计的p值只能取有理数，因而似乎有损于其结果的普遍性，但其证明对任意的p成立，故这一细节并不重要。
伯努利上述对事实上确定性的理解，即（8）式，有一个很值得赞赏之点，即他在概率论的发展刚起步的阶段，就给出了问题的一个适当的提法。因为，既然我们想要证明的是当N充分大时， 和p可以任意接近，则一个看来直截了当的提法是
, (10)
而这不可能实现。因为原则上不能排除“每次抽到白球”的可能性，这时 总为1，不能收敛于p<1。或者退一步：要求（10）式成立的概率为1，这个结论是对的，但直到1909年才由波莱尔证明，其难度也比伯努利的提法大得多。设想如当时伯努利就采用这个提法，他也许不一定能在有生之年完成这一工作。波莱尔得结论比伯努利强，故现今把它们得结论分别称为强大数律和弱大数律。
如今具有概率论初步知识的人都知道，伯努利大数律是契比谢夫不等式的简单推论。但在伯努利时代尚无方差概念，更不用说这一不等式了。伯努利用的是直接估计概率的方法，大意如下：令
，
，k=1,2,……
只须证明：当N充分大时有（注3）
, (11)
这就解决了X>Np的一边。对X0时，有
。
当然这里要求r 而 。上式易由二项概率公式证明之。由以上两式得
，
而u与k无关。
2. 证明当 时， 。若此已证，则由（A3）立即得到（5）。按二项概率公式由（q＝1－p）：
，当 。
于是证明了 。
（11）式证毕。
这个证明对p和 及N无所限制。在伯努利得原始证明中 ， 而N式（ ）的整倍数。这是不仅不存在上述 可能不为整数的困难，且在去掉公因子 之后，可以用整数 代替 ，处理较方便，但步骤和证明的实质部分无所差异。
注4:满足（12）式的 不存在的证明。
固定一个自然数N。取整数r充分大，使 。缶中有白球ra个，黑球rb个，对此缶，在不知道白、黑球个数的情况下，白球个数可能取0，1，…， 等值，故p值 有 个可能值，分别记为 ， ，取i