- 不等式问题三角形ABC的外接圆，与内切圆半径为R,r。证实或证伪
- 三角形AB的外接圆，与内切圆半径为R,r。证实或证伪：3R-2r(a/b+b/c+c/a)>=0
- 三角形ABC的外接圆，与内切圆半径为R,r。证实或证伪：3R-2r(a/b+b/c+c/a)>=0
刀歌 这个结论很弱，1993年5月，安振平，宋庆，李同林，在《中学》,江苏,早已证明.
吴善和在《不等式研究通讯》得到
1+R/r≥a/b+b/c+c/a.
褚小光在《不等式研究》一书给出一个更强加强式:
1/2+R/r+r/R≥a/b+b/c+c/a.
这个不等式有许多证法,下面介绍一种证法
在△ABC和△A'B'C'中,R是△ABC的外接圆的半径,r'是△A'B'C'的内切圆半径.则
R/r'≥2(a/a'+b/bc/c')/3 (1)
简证如下:在不等式中,
(x+y+z)^2≥2√3*(yz*sinA+zx*sinB+xy*sinC) (2)
在上述不等式中,令x=sinA',y=sinB',z=sinC',再由
sinA'+sinB'+sinC'≤(3√3)/2 (3)
及正弦定理即得所证不等式.
在不等式(1)中,令a'=b,b'=c,c'=a即为你提出的不等式.
你提出的不等式弱于如下不等式
s^2≥4Rr*(a/b+b/c+c/a)+3r^2 (4)
<==> (s^2-3r^2)/(4Rr)≥a/b+b/c+c/a
易验证:
3R/(2r)≥s^2-3r^2)/(4Rr) (5)
<==> 6R^2+3r^2≥s^2
<==> (4R^2+4Rr+3r^2-s^2)+2R(R-2r)≥0.
在(4)式中,令a=y+z,b=z+x,c=x+y,化简为
xy^2+yz^2+zx^2≥3xyz