- 立体几何在三棱锥A
- 在三棱锥A-B中，若∠BAC＝∠CAD＝∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2，
（I）求证：AB⊥CD
(II)求AB与平面BCD所成的角
- 1.证明:取中点，记作点E.
因AC=AD=2,又∠CAD＝60°，所以三角形ACD为等边三角形．
连接A,E.显然，AE⊥CD.
连接B,E.因为AB=3，AC=2，∠BAC＝60°，所以在三角形ABC中，由余弦定理，可知BC=SQRT(7),同理．在三角形ABD中,BD=SQRT(7)，所以三角形BCD为等腰三角形.又E是CD中点，
所以BE⊥CD.
综上，AE⊥CD且BE⊥CD,所以CD⊥面ABE.所以AB⊥CD．证毕．
2.解：过点A作AF⊥BE，与BE交于点F，由１中证得，CD⊥面ABE，又AF在面ABE内，所以，CD⊥AF.又已作AF⊥BE，且BE交CD于点E,所以，AF⊥面BCD.
所以∠ABF即为AB与平面BCD所成的角．
易得，BE=SQRT(6),AE=SQRT(3).又已知AB=3,运用余弦定理，得cos∠ABF=SQRT(6)/3.
所以∠ABF＝arccosSQRT(6)/3.即AB与平面BCD所成的角为arccosSQRT(6)/3.
[SQRT表示求算术平方根］