- 复平面中两个开区域之间的逆紧的开映射一定是满射问题如标题所述谢谢
- 问题如标题所述 谢谢啦
- 设X,Y为复平面中两个开区域，f为X到Y的逆紧的开映射。
反证法，设f(X)≠Y,
1.
取a∈Y-f(X),b=f(c)∈f(X),
由于Y为开区域，所以起点b终点a的Y中的折线段Γ，
记Γ={g(t),b=g(0),a=g(1)}.
2.
设α=sup{t,g(t)∈f(X)},
显然g(α)∈Y-f(X),因为若不然，根据f(X)为开集，
有g(α)的开邻域在f(X)中，和α的定义矛盾。
所以有递增数列t(n),满足：
Lim_{n→∞}t(n)=α,即Lim_{n→∞}g(t(n))=g(α),
且g(t(n))=f(x(n)).
3.
由于{x(n)}为紧集f^(-1)(Γ)的数列，则有收敛子列，
我们可设{x(n)}收敛于y，则又由于f连续，
==》
f(y)=Lim_{n→∞}f(x(n))=
=Lim_{n→∞}g(t(n))=g(α),
和2.的g(α)∈Y-f(X)矛盾。
所以f(X)=Y。
补充：
如果逆紧定义没有连续，则用下面证明。
s.
由于{x(n)}为紧集f^(-1)(Γ)的数列，则有收敛子列，
我们可设{x(n)}收敛于y∈f^(-1)(Γ)，
则f(y)=g(s)
用反证法证明：s=α
设s<α,则有N,当n≥N时，
t(n)>[s+α]/2>s
由于Γ1={g(t),1≥t≥t(N)}为Y的紧集，
且f(y)不在Γ1中，
则{x(n),n≥N}为紧集f^(-1)(Γ1)的数列，
{x(n)}收敛于y1∈f^(-1)(Γ1)，
而{x(n)}收敛于y==》y=y1和 f(y)不在Γ1中矛盾
所以s=α，f(y)=g(α)
和2.的g(α)∈Y-f(X)矛盾。
所以f(X)=Y。