- 数学Rt△AOB中，∠OAB=л/6,斜边AB=4,Rt△AOC
- Rt△AOB中，∠OAB=л/6,斜边AB=4,Rt△可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，动点D在斜边AB上。（1）求证平面COD⊥平面AOB
(2)当D为AB中点时，求异面直线AO与CD所成角大小。（3）求CD与平面AOB所成角最大值。
- Rt△AOB中，∠OAB=л/6,斜边AB=4,Rt△可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，动点D在斜边AB上。（1）求证平面COD⊥平面AOB
已知Rt△AOB中，AB为斜边
所以，∠AOB=90°
即，AO⊥OB
而Rt△AOC是Rt△AOB绕AO旋转所得
所以，AO⊥OC
又CO⊥BO
所以，CO⊥面AOB
而CO包含于面COD
所以，面COD⊥面AOB
(2)当D为AB中点时，求异面直线AO与CD所成角大小。
如图，过点D作OB的垂线，垂足为E，连接CE
因为AO⊥OB，AO⊥OC
所以，AO⊥面BOC
因为AO⊥OB，DE⊥OB
所以，DE//AO
所以，DE⊥面BOC
则，DE⊥EC
即，△DEC为直角三角形
又，BO⊥AO，CO⊥AO
所以，∠BOC就是二面角B-AO-C的平面角
则，∠BOC=90°
即，△BOC为直角三角形
在Rt△AOB中，AB=4，∠OAB=30°
所以，OB=2，AO=2√3
而点D为AB中点，DE//AO
所以，DE为△AOB的中位线
所以，OE=OB/2=1，DE=AO/2=√3
在Rt△COE中由勾股定理得到：CE^2=OC^2+OE^2=2^2+1^2=5
所以，CE=√5
所以，在Rt△DEC中，tan∠EDC=CE/DE=(√5)/(√3)=(√15)/3
则，∠EDC=arctan(√15/3)
因为DE//AO
所以，∠EDC就是异面直线AO、CD所成的角
即，异面直线AO、CD所成的角为arctan(√15/3)
（3）求CD与平面AOB所成角最大值。
过点C作面AOB的垂线
因为CO⊥AO，CO⊥BO
所以，CO⊥面AOB
则点C在面AOB内的射影就是点O
那么，∠CDO就是CD与面AOB所成的角
连接OD
设AD=x
那么，在△OAD中由余弦定理得到：
OD^2=AO^2+AD^2-2AO*AD*cos∠OAD
=(2√3)^2+x^2-2*2√3*x*(√3/2)
=12+x^2-6x
所以，OD=√(x^2-6x+12)
因为CO⊥面AOB
所以，CO⊥OD
即，△COD为直角三角形
所以，tan∠CDO=CO/OD=2/√(x^2-6x+12)=2/√[(x-3)^2+3]
那么，x=3时，tan∠CDO有最大值=2/√3
所以，∠CDO的最大值为arctan(2√3/3)
即，CD与面AOB所成角的最大值为arctan(2√3/3)