- 几何设P是三角形ABC内一点，直线AP，BP，CP与三边的交点分
- 设P是三角形AB内一点，直线AP，BP，CP与三边的交点分别为D,E,F。试证三角形DEF的面积不超过三角形ABC面积的四分之一。
- 证明 设三角形AB的面积为S, 三角形DEF的面积为S1, 三角形AEF的面积为Sa, 三角形BFD的面积为Sb, 三角形CDE的面积为Sc。令BD=xBC,CE=yCA,AF=zAB，则CD=(1-x)BC,AE=(1-y)CA,BF=(1-z)AB。则命题要证:S≥4S1.
根据三角形面积公易求得:
Sa=(AE*AF*sinA)/2=z*(1-y)*S， (a)
Sb=(BD*BF*sinB)/2=x*(1-z)*S， (b)
Sc=(CD*CE*sinC)/2=y*(1-x)*S。 (c)
所以有
S1=S-Sa-Sb-Sc=S*[1-z*(1-y)-x*(1-z)-y*(1-x)]
=S*[1-(x+y+z)+yz+zx+xy] ，
所证不等式S≥4S1转化为证明
4*[1-(x+y+z)+yz+zx+xy]≤1 (1)
根据塞瓦定理得:
xyz=(1-x)*(1-y)*(1-z) (2)
上述恒等式展开等价于:
1+yz+zx+xy=2xyz+x+y+z
将其代入得:8xyz≤1.
由算术--几何平均不等式得:
2√[x(1-x)]≤1,
2√[y(1-y)]≤1,
2√[z(1-z)]≤1,
上述三式相乘得:
8√[xyz(1-x)*(1-y)*(1-z)]≤1
<==> 8xyz≤1 .