- 一道有关书数学归纳法的证明题设数列{An}的前Ｎ项和Ｓn＝[n(
- 设数列{An}的前Ｎ项和Ｓn＝[n(An+1)]/2(n属于正整数），Ａ2=2,求证：数列｛Ａn｝是等差数列．
- 证明：这个题目可以直接证明，也可以用数学归纳法证明
S1=A1=(A1+1)/2,于是A1=1,根据A2=2，那么如果{An}是等差数列，必然有，An=n,我们现在就用数学归纳法证明这个。
(1)n=1时，A1=1成立,n=2时，A2=2成立
(2)假设n=k时，Ak=k成立(k>=2,且k为整数)，现在要证明n=k+1时，A{k+1}=k+1
（这里要注意，利用数学归纳法证明的时候一定要用到n=k的时候Ak=k这个条件）
A{k+1}=S{k+1}-S{k}=[(k+1)(A{k+1}+1)]/2-[k(Ak+1)]/2=(k+1)A{k+1}/2+(k+1)/2-k(k+1)/2
将A{k+1}移到等号一侧，有
[1-(k+1)/2]A{k+1}=(k+1)(1-k)/2
[2-(k+1)]A{k+1}=(k+1)(1-k)
因为1-k不为0，可以除去
于是A{k+1}=k+1
综上所述，有An=n对于任意正整数n成立
所以{An}是等差数列