- 高三题目14已知函数f(x)＝(a+1)lnx+ax^2+1.(
- 已知f(x)＝(a+1)lnx+ax^2+1.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)设a<-1.如果对任意m、n∈(0,+∞),有|f(m)-f(n)|≥4|m-n|,求a的取值范围。
- (1)f(x)定义域为(0,+∞),
f'(x)＝(a+1)/x+2ax＝(2ax^2+a+1)/x.
a≥0时，f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增；
a≤-1时，f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)单调递减.
-10→x∈(0,√(-(a+1)/2a)),f(x)单调递增；
f'(x)<0→x∈(√(-(a+1)/2a),+∞),f(x)单调递减.
(2)不妨假设m≥n,而a<-1,由(1)知
f(x)在(0,+∞)上单调递减，从而所有m、n∈(0,+∞).
∴|f(m)-f(n)|≥4|m-n|等价于：
对于所有的m、n∈(0,+∞),f(n)+4n≥f(m)+4m.
令g(x)＝f(x)+4x,f(n)+4n≥f(m)+4m等价于
g(x)在(0,+∞)上单调递减.
g'(x)＝(a+1)/x+2ax+4≤0
→a≤[(2x-1)^2/(2x^2+1)]-2≤-2，
故a的取值范围为：(-∞,-2]。