- 数学设复数z=3cosθ+i2sinθ,求函数y=θ
- 设复数z=3cθ+i2sinθ,求函数y=θ-argz(0<θ<π/2)的最大值以及对应的θ值.
书上答案说,因为0<θ<π/2,所以3cosθ>0,2sinθ>0 所以
0
- 00, b>0, 所以z在第一象限，所以argz在0和π/2之间。别把argz和θ混在一起，这是两个不同的事情。
对任何复数z=a+ib, tan(argz)=b/a, 所以这里tan(argz)==2sinθ/3cosθ。还是别搞混argz和θ。
θ是原来的某个角，现在z的角是argz. 现在的argz等于多少呢？
tan(argz)=2sinθ/3cosθ=(2/3)tanθ.
tan(θ-argz)=[tanθ-tan(argz)]/[1+tanθtan(argz)]
=(1/3)tanθ/[1+2/3tan^2θ]<=(1/3)tanθ/[2根号{2/3}tanθ]
=(1/3)/[2根号{2/3}]
=根号{6}/12,此为tan(θ-argz)的最大值。y=(θ-argz)的最大值为arctan根号{6}/12. (因为在0和π/2)。
上面我们用到了不等式c^2+d^2>=2xy, 这里c=1,d=根号{2/3}tanθ
等式成立时，c=d-->根号{2/3}tanθ=1-->tanθ=根号{3/2}，θ=arctan根号{3/2}，