- 几何证明在直角三角形ABC中,∠C=90°,M在BC上,N在AC
- 在直角三角形AB中,∠C=90°,M在BC上,N在AC上,且BM=AC,AN=MC,求证 ∠BPM=45°。
- 在直角三角形ABC中,∠C=90°,M在BC上,N在AC上,且BM=AC,AN=MC,求证 ∠BPM=45°。
证明 设AC=b,BC=a, 则CM=AM=a-b,CN=2b-a。
过N点作NH∥AM,过M点作MH∥AC,交于H.连BH.
则四边形ANHM是平行四边形,
所以 MH=AN=CM=a-b,AM=NH.
由勾股定理得:
BN^2=BC^2+CN^2=a^2+(2b-a)^2=2(a^2-2ab+2b^2);
AM^2=AC^2+CM^2=b^2+(a-b)^2= a^2-2ab+2b^2;
BH^2=BM^2+MH^2=b^2+(a-b)^2= a^2-2ab+2b^2.
所以得 AM=BH,AM^2+BH^2=BN^2。
故三角形BHN是等腰直角三角形。
因此∠BPM=∠BNH=45°。