- 几何
- 在ΔAB中,∠ABC=40°,∠ACB=30°, P为ΔABC内一点，∠PAB=100°,∠PCB=20°,则∠PBC=？
- 在ΔAB中,∠ABC=40°,∠ACB=30°, P为ΔABC内一点，∠PAB=100°,∠PCB=20°,则∠PBC=？
几何证法 以BC为对称轴，取A点的对轴点D，连CD，DP且延长交CA亍E，连BD，AD。
因为∠ACB=30°，所以ΔADC为正三角形。
因为∠ABC=40°,∠ACB=30°, ∠PAB=100°，
所以∠PAC=10°=∠PCA，那么E点为CA的中点，PE⊥CA。
因为得：∠APE=80°。
又∠ABD=2∠ABC=80°，所以A，B，D，P点四点共圆。
因为∠DAP=100°-（90°-40°）=50°=∠DBP
因此∠PBC=∠PBD-∠BDC=10°。
三角证法 因为∠ABC=40°,∠ACB=30°, ∠PAB=100°，
所以∠PAC=10°=∠PCA，∠PCB=20°。
设∠PBA=x,则∠PBC=40°-x。
根据塞瓦定理的等价式得:
sin100*sin(40-x)*sin10=sin10*sinx*sin20
<==> (sin20+sin80*cos40)sinx=sin80*sin40*cosx
<==> cotx*(sin80*sin40)=sin20+sin80*cos40
注意恒等式:
sin20+sin80*cos40-√3*sin80*sin40
=sin20+cos10*[cos40-√3*sin40]
=sin20+2cos10*cos100==sin20-2cos10*sin10=0
所以 cotx=√3,故x=30°,因此∠PBC=10°.证毕。