- 初三有关抛物线和动点的问题已知顶点为A（1，5）的抛物线y=ax
- 已知顶点为A（1，5）的抛物线y=ax2+bx+c经过点B（5，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），设，D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD的最小周长；（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD．设点P（x，y）（x＞0）是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（2）所示构造等腰直角三角形PQR．①当△PQR与直线CD有公共点时，求x的取值范围；②在①的条件下，记△PQR与△COD的公共部分的面积为S．求S关于x的函数关系式，并求S的最大值．
- 解：(1) ∵抛物线的顶点为A(1, 5)
∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)²+5
代入B(5, 1), 得a(5-1)²+5=1
解得a=-1, 4
∴y=-1/4·x²+1/2·x+19/4
(2)过y, x轴分别做A、B的对称点A′、B′, 连接A′D、B′
显然A′(-1, 5), B′(5, -1), 连接A′B′分别交x、y轴于C、D两点。
∵DA=DA′, CB=CB′
∴此时四边形ABCD的周长最小, 最小值为A′B′+AB
即A′B′=√[(5+1)²+(1+5)²]=6√2
AB=√[(5-1)²+(1-5)²]=4√2
∴A′B′+AB=10√2
故四边形ABCD的最小周长为10√2
(3)①点B关于x轴的对称点B′(5, -1), 点A关于y轴的对称点A′(-1, 5),
连接A′B′, 与x、y轴交于C, D点
∴CD的解析式为：y=-x+4
联立{y=-x+4
````{y=x
得: x=2, y=2
∵点P在y=x上, 点Q是OP的中点
∴要使等腰直角三角形与直线CD有公共点, 则2≤x≤4
故x的取值范围是：2≤x≤4
②如图
点E(2, 2), 当EP=EQ时, x-2=2-1/2·x, 得: x=8/3
当2≤x≤8/3 时,
S=1/2·PR•RQ-1/2·EP²
`=1/2·(x-1/2·x)•(x-1/2·x)-1/2•√2(x-2)•√2(x-2)
S=-7/8·x²+4x-4
当x=16/7 时, S最大, 最大值为4/7.
当8/3≤x≤4时,
S=1/2·EQ²=1/2•√2(2-1/2·x)•√2(2-1/2·x)
S=1/4·(x-4)²
当x=8/3 时, S最大, 最大值为4/9
故S的最大值为4/7