- (重复)几何
- 命题 在△AB中，∠A=60度，P为△ABC所在平面上一点，且使得PA=6,PB=7,PC=8，求△ABC的最大面积。
- 命题 在△AB中，∠A=60度，P为△ABC所在平面上一点，且使得PA=6,PB=7,PC=10，求△ABC的最大面积。
证明 先说明一个引理:在凸四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，对角线AC,BD夹角为∠AOB=Φ，则有
BC^2+DA^2-AB^2-CD^2=2AC*BD*cosΦ (1)
(1) 式运用余弦定理即可证得。
下面求解最大面积。在△ABC中，过P作AB的平行线，过A作PB的平行线，两条直线交于D，设PD交AC于E，则∠CEP=60度。令AC=x,AB=PD=y,CD=t。
对四边形APCD应用(1)式可得: t^2+36-100-49=2xy*cos60
即为: xy=t^2-113 (2)
另一方面，对四边形APCD应用Ptolemy不等式可得:
xy≤6t+70 (3)
由(2),(3)式得:
t^2-6t-183≤0 (4)
所以 0≤t≤3+8√3，故xy ≤88+48√3。从而有
△ABC的最大面积=(xy√3)/4≤36+22√3
摘自shc100的回答