- 设f(x)是定义在[
- 设f(x)是定义在[-1,0)U(0,1]上的偶,当x∈[-1,0)时,f(x)=x^3-ax(a∈R)．
问是否存在a使得x∈(0,1]时f(x)max=1？
- 解：x∈(0,1],则-x∈[-1,0)
f(-x)=(-x)^3-a(-x)=-x^3+ax
因为f(x)是定义在[-1,0)U(0,1]上的偶函数,
所以f(x)=f(-x)=-x^3+ax
f`(x)=-3x^2+a
若存在点a，使f`(x)=0，则a=3x^2∈(0,3]
此时解得x=±√a/3
当x=√a/3时，f(x)取得极大值(而且是唯一的，故也是最大值)
f(√a/3)=-(√a/3)^3+a(√a/3)
=(2a√a)/(3√3)=1
解得a=3(三次√3)/2
显然a∈(0,3],故存在a使得x∈(0,1]时f(x)max=1。
当a>3时，f`(x)=-3x^2+a>0,f(x)单调递增，
f(x)max=f(1)=a-1=1,解得a=2舍去
当a≤0时，f`(x)=-3x^2+a<0,f(x)单调递减，
f(x)