- 双休日娱乐一下求三次多项式，满足：除以x
- 求三次多项式，满足：除以x-1余2，除以x-2余3，除以x-3余4，除以x-4余-1。
本栏的热心们，大家好。
天大热，来这里玩玩吧，题很简单，所以要求解答：
详细，详细，再详细。
简洁，简洁，再简洁。
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- 我也来提供一个方法。设满足条件的多项式为 p(x)，想法是把 p(x) 分解成 p1(x)，p2(x)，p3(x),p4(x) 四个多项式。其中，p1(x) 除以 x-1 余 2，但可以整除 x-2,x-3,x-4；p2(x) 除以 x-2 余 3，但可以整除 x-1,x-3,x-4；p3(x) 除以 x-3 余 4，但可以整除 x-1,x-2,x-4；p4(x) 除以 x-4 余 -1，但可以整除 x-1,x-2,x-3。这样的分解的原因在于“整除”好对付，有余数麻烦。故化繁为简，把同时满足 4 个余数条件的 p(x) 分解成分别满足一个余数的条件的“简单”多项式。模仿拉格朗日插值法，因为 p1(x) 整除 x-2,x-3,x-4，故含有 (x-2)(x-3)(x-4) 项。但又要满足“除以 x-1 余 2”的条件，即 p1(1)=2，而 (1-2)(1-3)(1-4)=-6，所以加上调整的系数 2/(-6)。也就是说，p1(x)=2(x-2)(x-3)(x-4)/(-6)。同理得 p2(x)=3(x-1)(x-3)(x-4)/2，p3(x)=4(x-1)(x-2)(x-4)/(-2)，p4(x)=(-1)(x-1)(x-2)(x-3)/6。因此，p(x)=2(x-2)(x-3)(x-4)/(-6)+3(x-1)(x-3)(x-4)/2+4(x-1)(x-2)(x-4)/(-2)+(-1)(x-1)(x-2)(x-3)/6。答案看起来较繁复，但不需要解线性方程，没有太多计算量。===========================================================根据山路水桥的提示，再想出一个方法：因为对于 n=1,2,3 而言，目标多项式 f(x) 满足 f(n)=n+1，故构想出 f(x) 的形式为 f(x)=k(x-1)(x-2)(x-3)+x+1。其中，k为待定系数。为确定系数 k，把 f(x) 改写为 f(x)=k[(x-4)+3,(x-4)+2,(x-4)+1]+(x-4)+5，可见 f(x) 除以 x-4 余 6k+5。现余数为 -1，故 k=-1。因此，f(x)=-(x-1)(x-2)(x-3)+x+1。