- 数学问题给你20分定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当
- 定义在R上的y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对于任意的a,b属于R，有f(a+b)=f(a)f(b)
(1)证明：f(0)=1
(2)证明对任意的x属于R，恒有f(x)>0
(3)证明函数y=f(x)是R上的增函数。
- (1)令a=b=0
有f(0+0)=f(0)*f(0)，由于f(0)≠0
上式两边除以f(0)，得
f(0)=1
(2)因为当x>0时,f(x)>1>0
当x<0，有
1=f(0)=f(x)*f(-x)
这时(-x)>0，所以f(-x)>1>0
从而f(x)>0
(3)设x > y
f(x)-f(y)=f(x-y+y)-f(y)=f(x-y)f(y)-f（y）
=(f(x-y)-1)f(y)
因x-y>0
所以f(x-y)>1
又有(2)，f(y)>0
所以
f(x)-f(y)=(f(x-y)-1)f(y)>0