- 三角不等式设x∈(0，π/2)，n∈N，证明[(1/sinx)^
- 设x∈(0，π/2)，n∈N，证明[(1/sinx)^(2n)-1]·[(1/c)^(2n)-1]≥(2^n-1)^2。
- 证明：
∵1-(sinx)^(2n)=[1-(sinx)^2,1+(sinx)^2+(sinx)^4+···+(sinx)^(2n-2)]，
1-(cx)^(2n)=[1-(cosx)^2,1+(cosx)^2+(cosx)^4+···+(cosx)^(2n-2)，
∴[(1/sinx)^2n-1,(1/cosx)^2n-1]
=(cscx)^(2n-2)[1+(sinx)^2+(sinx)^4+···+(sinx)^(2n-2)]·(secx)^(2n-2)[1+(cosx)^2+(cosx)^4+···+(cosx)^(2n-2)]
=[1+(1/sinx)^2+(1/sinx)^4+···+(1/sinx)^(2n-2)]·[1+(1/cosx)^2+(1/cosx)^4+···+(1/cosx)^(2n-2)]
≥[1+(1/sinxcosx)+(1/sinxcosx)^2+···+(1/sinxcosx)^(n-1)]^2(利用了柯西不等式)
=[1+(2/sin2x)+(2/sin2x)^2+···+(2/sin2x)^(n-1)]^2
≥[1+2+2^2+···+2^(n-1)]^2
=[(2^n)-1]^2。
故命题得证。