- 几何已知ABCD是圆内接四边形,AB与CD交于E，BC与DA交于
- 已知 AB是圆内接四边形,AB与CD交于E，BC与DA交于F，PE、QF是切线，P,Q是切点。
求证 PE^2+QF^2=EF^2
- 证明 在EF上取点H，使∠CHE=∠CDF，那么C,H,F,D四点共圆, 则
EF*EH=ED*EC. (1)
因为∠ABC+∠ADC=180°，所以∠CHF=∠EBC，即C,H,E,B四点共圆, 则
EF*FH=FB*FC (2)
(1)+(2)得
EF^2=ED*EC+FB*FC (3)
据切线定理得
PE^2=ED*EC (4)
QF^2=FB*FC (5)
(4)+(5)得
PE^2+QF^2=ED*EC+FB*FC (6)
故得
PE^2+QF^2=EF^2.
请按照我的图对应字母......
PE^2=ED*EC
QF^2=FD*FA
在EF上找一点M，使CDMF四点共圆
则∠EAD=∠DCB=∠DMF
则EADM四点共圆
所以ED*EC=EM*EF
FD*FA=FE*FM
所以PE^2+QF^2=ED*EC+FD*FA=EM*EF+FM*EF=EF^2